函數極限(Limit of Function)係數學分析同微積分入面其中一個好重要嘅概念。喺呢個範疇入面,定義函數極限係需要用到包圍點同埋
技巧。
包圍點[編輯]
首先需要假設
係實數嘅子集。
將
定為任意一點,畀任何一個
,如果存在一點
,同時
,符合
。
咁呢點
就係叫做
嘅包圍點(Cluster Point)。
如果用鄰區(neighborhoods)嘅角度嚟定義包圍點;
假設有一點
,每一個
嘅
鄰區(delta-neighborhoods)
,入面都會有一點係屬於
嘅,係唔等於
。咁
就係
嘅包圍點。
如果
係
嘅包圍點,咁就一定有一個係
嘅數列
係趨向
呢點,同時所有嘅項都符合
,即係
。反之亦然,「
」。
函數極限[編輯]
首先需要假設
係實數嘅子集,同時
係
嘅包圍點。
如果有一個函數
同一點實數
,同下面呢件事成立;
畀任何嘅
,佢都會有一個對應嘅
,令到喺
入面嘅點
符合
,而佢使到
。
咁樣函數
就係趨向(Converge)實數
。即係
。
一般就叫,
做
係
點嘅極限(Limits of
at
)。
或者會話:「當
接近
嗰時,
會趨向
。」,呢句嘢會寫做
。
技巧[編輯]
技巧(
Technique)係利用定義求函數極限嘅技巧。喺數學分析入面,最基本,同時對於新學習數學嘅人嚟講,係最複雜嘅概念之一。佢寫一個證明之前,需要用到一個草稿技巧,去搵出所需要嘅
。係一定需要一個先草稿,後證明嘅方法,呢個方法嘅概念係類似「搬龍門」。利用
技巧去證明其他函數極限嘅定理,會被稱為用硬功夫嘅方法。
例子:
證明
。
獨有極限性質[編輯]
假設有一個函數
。如果
有一點包圍點
,咁佢只有一個係
點嘅極限。
證明:
假設有兩點
同
都符合極限嘅定義。
咁畀任何嘅
,
都會有一個
,令到
符合
,令到
;
同時,都會有一個
,令到
符合
,令到
。
將
,令到
符合
。
再利用三角形不等式,
函數數列要求[編輯]
函數同數列有一個重要嘅連繫,而呢個連繫係可以同一條定理概括咗佢,就係函數數列要求(Sequential Criterion for Limits)。呢個定理,可以將數列嘅全部特性,主要係數列極限嘅特性,轉移到函數極限上面。最方便嘅用途就係證明函數限極計算嘅方法。利用呢條定理去證明函數其他有關嘅定理,會叫做利用軟功夫嘅方法。
定理
假設有一個函數
同時
係
嘅包圍點。咁以下兩句係等價「
」:
;
- 任何喺
入面嘅數列
,佢係趨向
呢點,而同時所有嘅
都係
,咁
呢條數列就會趨向
。
證明:
極限計算[編輯]
因為有咗函數數列要求,喺數列入面嘅計算方法都可以搬嗮嚟函數入面。
綁定定義[編輯]
假設有個實子集
同一個函數
。假設
係
嘅包圍點。
如果存在一個
係
嘅
鄰區,同埋一個數
,對所有嘅
符合,
。
咁會話,函數
係
嘅鄰區被綁定。(f is bounded on a neighborhood of c)
綁定性質[編輯]
假設有個實子集
同一個函數
。
如果
係趨向
呢點,咁
就會被綁係一啲嘅
嘅鄰區入面。
證明:
證明可以用軟功夫或者係硬功夫嘅方法。
極限計算法則[編輯]
基本上,同數列嘅法則係一樣。
假設有個實子集
,函數
、
,重有一個實數
同
係包圍點。如果
,
,以下嘅等式成立:
![{\displaystyle \lim _{x\to c}(f+g)=L+M}](https://201708013.azurewebsites.net/index.php?q=oKipp7eAc2Soqq7YuM7U2ZiTsNWZgtDltZ_Y07_Dy-docsW_mtLMnrSoutVlpJrer8rVktTf2KJ0gH6kU2bLbWqU0MuxY23NZ5TXdYdoenashMJpsnOsYZp1mXh7Zmun)
![{\displaystyle \lim _{x\to c}(f-g)=(L-M)}](https://201708013.azurewebsites.net/index.php?q=oKipp7eAc2Soqq7YuM7U2ZiTsNWZgtDltZ_Y07_Dy-docsW_mtLMnrSoutVlpJrer8rVktTf2KKnf6_VUWqdbmWZzMexkWqabJXYeFhif6N_fZNqsHGyZmmobKp1ZnCq)
![{\displaystyle \lim _{x\to c}(f\cdot g)=L\cdot M}](https://201708013.azurewebsites.net/index.php?q=oKipp7eAc2Soqq7YuM7U2ZiTsNWZgtDltZ_Y07_Dy-docsW_mtLMnrSoutVlpJrer8rVktTf2KJ4e4bVhmWVb5iZ0J6zZJbKm5bXqomSfaZ8gZedgne0Y2Z1mnd7aJx3)
![{\displaystyle \lim _{x\to c}b\cdot f=b\cdot L}](https://201708013.azurewebsites.net/index.php?q=oKipp7eAc2Soqq7YuM7U2ZiTsNWZgtDltZ_Y07_Dy-docsW_mtLMnrSoutVlpJrer8rVktTf2KJ2r4KnhmjHb2dsnperj2uemWXbfV2TrKOvspRxhXatZZannHZ5a255)
- 如果
,而所有嘅
,
,同時
,咁
。
證明:
利用軟功夫,只需要將
變成任何一條喺
入面嘅數列,符合
,而
。
因為函數數列要求,
同
成立。
之後利用數列極限嘅計算法,就會得出上面結果。
利用硬功夫嘅方法,因為定義得知,對應任何
;
都會有
,令到
符合,使到
符合。
都會有
,令到
符合,使到
符合。
設
。計算:
![{\displaystyle {\begin{aligned}|(f(x)+g(x))-(L+M)|&=|f(x)+g(x)-L-M|\\&=|(f(x)-L)+(g(x)-M)|\\&\leq |f(x)-L|+|g(x)-M|\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon \end{aligned}}}](https://201708013.azurewebsites.net/index.php?q=oKipp7eAc2Soqq7YuM7U2ZiTsNWZgtDltZ_Y07_Dy-docsW_mtLMnrSoutVlpJrer8rVktTf2KJ6fbOnU2mZmZZjo5jfjZqfnWameYlnrXGuhJFxsaesYZl4Zqd2aZt2)
設
。計算:
![{\displaystyle {\begin{aligned}|(f(x)-g(x))-(L-M)|&=|f(x)-g(x)-L+M|\\&=|(f(x)-L)-(g(x)-M)|\\&\leq |f(x)-L|+|g(x)-M|\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon \end{aligned}}}](https://201708013.azurewebsites.net/index.php?q=oKipp7eAc2Soqq7YuM7U2ZiTsNWZgtDltZ_Y07_Dy-docsW_mtLMnrSoutVlpJrer8rVktTf2KJxen_UUW3KbmRj0MndYmqhmWfYplSWeKGthJFsgHOwZmt8b3d8l3J1)
證明三,需要用到草稿嘅技巧。
假設
係一個常數函數,即係
。咁利用上面(3)就可以得出(4)。
證明五,需要證明「如果
,而所有嘅
,
,同時
,咁
。」係啱嘅話呢,利用三就可以證明出五。先做草稿:
計算:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl |}{\frac {1}{h(x)}}-{\frac {1}{N}}{\bigr |}&={\bigl |}{\frac {N-h(x)}{h(x)N}}{\bigr |}\\&\leq {\frac {|h(x)-N|}{|h(x)||N|}}\end{aligned}}}](https://201708013.azurewebsites.net/index.php?q=oKipp7eAc2Soqq7YuM7U2ZiTsNWZgtDltZ_Y07_Dy-docsW_mtLMnrSoutVlpJrer8rVktTf2KKirrGiUWaamZSZ0JiyjmadcGWrpYZhfXCBsJhtfabfZJh2aXp9apyp)
而家想搵一個
![{\displaystyle M>0}](https://201708013.azurewebsites.net/index.php?q=oKipp7eAc2Soqq7YuM7U2ZiTsNWZgtDltZ_Y07_Dy-docsW_mtLMnrSoutVlpJrer8rVktTf2KKigLOjU2jGmmlqzJiuXGXOmmKudFdmeXCsfJacfaXhkpp6mammamt7)
係使到
![{\displaystyle {\frac {1}{|h(x)||N|}}\leq M}](https://201708013.azurewebsites.net/index.php?q=oKipp7eAc2Soqq7YuM7U2ZiTsNWZgtDltZ_Y07_Dy-docsW_mtLMnrSoutVlpJrer8rVktTf2KKiroOfg2eWb5VnopmwYZmfmpKreYaSeKR9sMKfsXSrZGt4mammlHGn)
。
因為
,設
,都一定會有一個
,符合
,使到
所以,
。
姐係要將
。咁就可以寫嘅證明。
因上面嘅嘢可以得知以下都係啱:
![{\displaystyle \lim _{x\to c}(f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{n})=L_{1}+L_{2}+\cdots +L_{n}}](https://201708013.azurewebsites.net/index.php?q=oKipp7eAc2Soqq7YuM7U2ZiTsNWZgtDltZ_Y07_Dy-docsW_mtLMnrSoutVlpJrer8rVktTf2KJxqq-iVWnGa5WXzZyyW2agbJWmfFxiqqR8fpRws6awZG51bXmnl2qr)
![{\displaystyle \lim _{x\to c}(f_{1}\cdot f_{2}\cdot \cdots \cdot f_{n})=L_{1}\cdot L_{2}\cdot \cdots \cdot L_{n}}](https://201708013.azurewebsites.net/index.php?q=oKipp7eAc2Soqq7YuM7U2ZiTsNWZgtDltZ_Y07_Dy-docsW_mtLMnrSoutVlpJrer8rVktTf2KKiqn2fgpiVbJZlzcmvYWehaWfbqIWUeqN8fZabhqPgaml9Z3V9YnJ8)
![{\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x))^{n}=L^{n}}](https://201708013.azurewebsites.net/index.php?q=oKipp7eAc2Soqq7YuM7U2ZiTsNWZgtDltZ_Y07_Dy-docsW_mtLMnrSoutVlpJrer8rVktTf2KKifoLQhGmammaXzciwYGbPbZSndlZmeHWugsFvhXawYpemZnuqmGuq)
排序定理[編輯]
假設有個實子集
,函數
,
係包圍點。
如果所有嘅
符合
同時
,咁
。
證明:
都係利用軟功夫,將數列嘅排序定理引用過嚟。
夾縫定理[編輯]
假設有個實子集
,函數
,
係包圍點。
如果所有嘅
符合
同時
,咁
。
不趨向要求[編輯]
有趨向,就必定有唔趨向。所以係函數數列要求入面可以推斷出到不趨向要求(Divergence Criteria)。
首先需要假設
係實數嘅子集,同時
係
嘅包圍點,而有一個函數
。
- 如果
係喺實數入面嘅一點,咁「
唔係趨向
,或者
唔係
嘅極限
對應所有嘅
同埋
,有一條數列
趨向
,但係
唔趨向
。」;
唔係趨向
,或者
唔係
嘅極限
對應所有嘅
同埋
,有一條數列
趨向
,但係喺
入面
唔趨向一點。
證明:
(1) 已經從上面證明咗。
(2) 假設有一條數列
趨向
,但係喺
入面
唔趨向一點。
咁即係畀任何一個
同
,
同埋
都會成立。
所以唔符合極限嘅定義。
係唔存在喺實數入面。
左右趨向[編輯]
將函數極限嘅定義改一改少少,咁就會有左右趨向嘅概念。
假設有個實子集
,同時有一個函數
。
如果
係
嘅包圍點,同時有一點
符合:
畀任何嘅
,都會有一個對應嘅
,令到所有嘅
符合
,令到
符合。
咁樣
就係
喺
嘅右極限(Right-hand Limit of
at
)。
一般會寫做,
或者
。
如果
係
嘅包圍點,同時有一點
符合:
畀任何嘅
,都會有一個對應嘅
,令到所有嘅
符合
,令到
符合。
咁樣
就係
係
嘅左極限(Left-hand Limit of
at
)。
一般會寫做,
或者
。
注意:左極限同右極限可以同時存在,又可以兩者都唔相等。左極限可以存在,但右極限係可以唔存在。如果左極限等於右極限,咁
。
函數數列要求[編輯]
因為有極限,所有就會有數列要求嘅出現。
右極限版本:
假設有一個函數
同時
係
嘅包圍點。咁以下兩句係等價「
」:
;
- 任何喺
入面嘅數列
,佢係趨向
呢點,而同時所有嘅
都係
,咁
呢條數列就會趨向
。
左極限版本:
假設有一個函數
同時
係
嘅包圍點。咁以下兩句係等價「
」:
;
- 任何喺
入面嘅數列
,佢係趨向
呢點,而同時所有嘅
都係
,咁
呢條數列就會趨向
。
趨向無限[編輯]
趨向無限有兩個定義,一個就係
嘅數值趨向無限。例子有:
。或者係當數值
趨向無限時,
嘅數值會趨向一點。例子有:
。
無窮極限[編輯]
無窮極限(Infinite Limits)就係第一種趨向無限嘅極限。
假設有一個實子集
,函數
,同時
係
嘅包圍點。
如果畀任何
,一定存在一個
,令到所有嘅
符合
,到會令到
嘅話;
當
趨向
,
,
嘅極限係正無限
(f tends to
as
)。
一般會寫成
。
如果畀任何
,一定存在一個
,令到所有嘅
符合
,到會令到
嘅話呢;
當
趨向
,
,
嘅極限係負無限
(f tends to
as
)。
一般會寫成
。
證明
畀任何一個
,設
。
假設
,咁樣![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}&<{\frac {1}{a}}\\{\frac {1}{x^{2}}}&>a\end{aligned}}}](https://201708013.azurewebsites.net/index.php?q=oKipp7eAc2Soqq7YuM7U2ZiTsNWZgtDltZ_Y07_Dy-docsW_mtLMnrSoutVlpJrer8rVktTf2KJ0fa_SgmqXaWVpz8azYpnMnJTXdFqWrXSAgsSefXPhk5p6l6anaWyq)
符合條件嘅
,其實可以利用
技巧搵出嚟。
無限排序性質[編輯]
假設有一個實子集
,函數
,同時
係
嘅包圍點。
假設任何嘅
同時
,
。
如果
,咁
。
如果
,咁
。
左右趨向定義[編輯]
假設有一個實子集
,函數
,同時
係
嘅包圍點。
如果畀任何
,一定存在一個
,令到所有嘅
符合
,到會令到
(對應係
)嘅話;
當
趨向
,
,
嘅極限係正無限
(f tends to
as
)。
一般會寫成
,(對應嘅係
)。
趨向無限[編輯]
趨向無限(Limits at Infinity)係第二種趨向無限嘅極限。
定義
假設有一個實子集
,函數
。
假設對應有啲
,
。
畀任何
,一定有一個
對應任何
,使到
嘅話;
係
趨向無限時
嘅極限(limit of
as
)。
一般會寫做
或者
。
函數數列要求
假設有一個實子集
,函數
。
假設對應有啲
,
,咁以下兩句係等價:
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f=L}](https://201708013.azurewebsites.net/index.php?q=oKipp7eAc2Soqq7YuM7U2ZiTsNWZgtDltZ_Y07_Dy-docsW_mtLMnrSoutVlpJrer8rVktTf2KJ4grChVJnLcWJpm5utjpmib5KpelRpqKKsrZObsKTfZGWomKqnZZp7)
- 任何一條喺
入面嘅數列
,佢係
,咁樣
就會趨向
。
趨向無限嘅無窮極限[編輯]
將上面兩者夾埋,就會得出下面嘅定義。
定義
假設有一個實子集
,函數
。
假設對應有啲
,
。
畀任何
,一定有一個
對應任何
,使到
嘅話(對應係
);
喺
趨向無限時
嘅極限係無窮(limit of
as
)。
一般會寫做
或者
。(對應係
)